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numerische_flaechenabschaetzung_der_mandelbrotmenge

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Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge (2011)

Aktueller Schätzwert (2011)

Table 1: current estimate (december 2011)
area mean 1.506 591 881
mean error 0.000 000 006 5
standard deviation 0.000 000 294
counted pixels 35 046 933 135 360
raster size 22×17 = 131 0722
number of rasters 2040
maximum iterations 7 564 372 992
CPU/GPU time 100 days
hardware Intel Core i7, Radeon HD 5970
power consumption 550 kWh (110 EUR)

Erläuterungen

  • area mean: Mittelwert von 2040 Flächenschätzwerte aus Rastern mit je 22×17 Pixel; ein Raster mit 22×17 Pixel hat eine Kantenlänge von 217 = 131 072 Pixel.
  • mean error: standard deviation * 2040-0.5
  • standard deviation: Standardabweichung von 2040 Flächenschätzwerte aus Rastern mit je 22×17 Pixel
  • counted pixels: 2040 * 22×17 Pixel
  • GPU/CPU time: 2040 Stunden, d.h. 1 Stunde pro 22×17 Pixel
  • power consumption: 2040 Stunden * 240 W

Vergleich mit bisherigen Schätzungen

In Tabelle 2 ist ein Vergleich mit anderen Schätzungen angegeben. Der hier ermittelte Wert stimmt recht gut mit dem Wert von Munafo; Lesmoir-Gordon et al. 2000 überein.

Table 2: comparison chart
method area mean mean error details
pixel counting 1.506 591 881 0.000 000 006 5 refer to table 1
pixel counting 1.506 591 77 0.000 000 08 mrob.com (Munafo; Lesmoir-Gordon et al. 2000)
pixel counting 1.506 484 0.000 004 mathworld.com (Mitchell 2001)
pixel counting 1.506 793 0.000 008 88 fractalus.com

Fehlerbetrachtungen

Ungenauigkeiten durch das Sampling

Dieser Fehler kann durch die Variation der Flächenschätzwerte für jedes Raster abgeschätzt werden und nimmt mit der Rasterzahl n ab (hier: n-0.5).

Die Abbildung 1 zeigt die Entwicklung des Pseudo-Schätzfehlers (blaue verbundene Punkte) in Abhängigkeit der Anzahl der berechneten Raster mit je 22×17 Pixel. Der Pseudo-Schätzfehler ist hier nur die Differenz zur besten bisherigen Schätzung und nicht zum unbekannten exakten Wert. Zum Vergleich ist der Modellfehler bei typischen Monte-Carlo-Methoden angegeben (n-0.5). Beispielhaft ist der in Tabelle 2 zitierte Fehler von Munafo angegeben.

Der Schnittpunkt der rot gestrichelten Linie (Modellfehler) mit der Linie n=2040 (Dezember 2011) in Abbildung 1 entspricht dem in Tabelle 1 angegebenen mean error 0.000 000 006 5. Die Steigung der rot gestrichelten Geraden entspricht der standard deviation aus Tabelle 1.

Figure 1: Error reduce represented as pseudo error over number of rasters with 2<sup>2x17</sup> pixels each

Ungenauigkeiten durch eine zu geringe Iterationstiefe

Dieser Fehler kann durch Beobachten der Auswirkung einer Iterationserhöhung abgeschätzt werden. Pixel sind refugee Pixel, wenn sie nach spätestens 7 564 372 992 Iterationen divergieren. Sie sind member Pixel, wenn sie nach spätestens 5 416 889 344 Iterationen in einen Orbit mit maximaler Länge 2 147 483 648 eingetreten sind. Ansonsten sind sie unknown Pixel. Details sind bei der Beschreibung des Algorithmus angegeben.

Von den berechneten 35 046 933 135 360 Pixeln gehören 27 236 071 463 399 definitiv nicht zur Mandelbrotmenge (divergent/refugee) und 7 810 861 635 751 gehören definitiv zur Mandelbrotmenge (orbit detection/member). Die restlichen 36 210 Pixel sind unentschieden (unknown) und werden hier mit zur Mandelbrotmenge hinzugerechnet. Der Fehler, der dadurch maximal begangen wird, beträgt 0.000 000 007. Bei Betrachtung von Tabelle 2 im Abschnitt zum Algorithmus erkennt man, dass bei hohen Iterationstiefen wahrscheinlich weniger als 5 % der unentschiedenen Pixel nicht zur Mandelbrotmenge gehören.

Von den restlichen 36 210 unentschiedenen Pixel wurde eine Stichprobe von 3810 Pixeln genauer untersucht. Die maximale Iterationstiefe wurde auf 1 647 656 828 928 erhöht. Ein Orbit von maximaler Länge 549 755 813 888 wird erkannt, wenn er spätestens nach 1 097 901 015 040 Iterationen begonnen wurde. Die eben geschilderten Sachverhalte fasst Tabelle 3 zusammen und stellt sie gegenüber.

Von den 3810 zufällig ausgewählten unknown Pixel, die mit zur Mandelbrotmenge gerechnet werden, sind nur 167 = 4.38 % refugee Pixel und werden damit fälschlicher Weise zur Mandelbrotmenge gezählt. Im ungünstigsten Fall könnten noch die 13 verbleibenden unknown Pixel dazu kommen. Der Fehler durch eine zu geringe Iterationstiefe macht also nur ca. 5 % des Fehlers durch das Sampling aus und ist damit vernachlässigbar.

Table 3: Comparison between rasters' and sample's parameters and results
rasters' parameters sample's parameters
maximum iteration 7 564 372 992 1 647 656 828 928
latest starting point 5 416 889 344 1 097 901 015 040
maximum orbit length 2 147 483 648 549 755 813 888
rasters' results sample's results
number of tested points 35 046 933 135 360 (100 %) 3810 (100 %)
found member pixel 7 810 861 635 751 (22.3 %) 3630 (95.3 %)
found refugee pixel 27 236 071 463 399 (77.7 %) 167 (4.38 %)
remaining unknown pixel 36 210 (0.00 %) 13 (0.34 %)
numerische_flaechenabschaetzung_der_mandelbrotmenge.txt · Zuletzt geändert: 2015/09/10 10:28 von vaumann